具体数学5.1 基本恒等式

5.1 基本恒等式 BASIC IDENTITIES

$\tbinom{n}{k}$ 为二项式系数, 读作"$n$ 选取 $k$". 组合解释: 从 $n$ 个元素的集合中选取 $r$ 个元素的子集的个数.

高中学到的组合数定义为

$$\begin{equation} \tbinom{n}{k} = \frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{k(k - 1)\cdots(1)} \end{equation}$$

我们称 $n$ 为上指标(upper index), 而称 $k$ 为下指标(lower index). 组合解释指标仅限于取非负整数, 但是除了组合解释, 二项式系数还有许多用途, 所以我们可以对它推广. 事实上, 最有用的是允许上指标取任意实数(甚至复数), 下指标取任意整数. 这样, 二项式系数定义如下:

$$\tbinom{r}{k}= \begin{cases} \frac{n(n - 1)\cdots(n - k + 1)}{k(k - 1)\cdots(1)} = \frac{r^{\underline{k}}}{k!}, & \text{整数 $k\geq0$} \\\\ 0, & \text{整数 $k<0$} \end{cases}$$