一个积分后求导的小结论

引入

做高数题的时候会遇到一类题目：对一个变上限函数求导。例如

$$\frac{\mathrm{d}\int_0^x f(t)\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = f(x)$$

这是显然的。

但如果积分函数中加入了 $x$，例如：

$$\frac{\mathrm{d}\int_0^x sin(t - x)\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$$

问题就不在那样显然了。

我初次遇到这题把它拆成导数定义来做，结果算错了。于是我在想有没有一种结论可以省去讨论，于是又了今天的这篇文章。

推导

考虑一个一般的情况。求以下函数：

$$\frac{\mathrm{d}\int_0^x f(ax+bt+c)\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$$

我们令 $F(x) = \int f(x) \mathrm{d}x$。

根据导数的定义，有

$$\frac{\mathrm{d}\int_0^x f(ax+bt+c)\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{\int_0^{x + \Delta x} f(a(x + \Delta x)+bt+c)\mathrm{d}t - \int_0^x f(ax+bt+c)\mathrm{d}t}{\Delta x}$$

根据微积分基本定理有

$$\begin{align} \mathrm{RHS} &= \frac{\frac{1}{b} F[a(x + \Delta x) + bt + c]|^{x + \Delta x}_0 - \frac{1}{b} F(ax + bt + c)|^x_0}{\Delta x} \nonumber \\\\ &= \frac{1}{b}\frac{(F[(a + b)(x + \Delta x) + c] - F[a(x + \Delta x) + c]) - (F[(a + b)x + c] - F(ax + c))}{\Delta x} \nonumber \\\\ &= \frac{1}{b}(\frac{F[(a + b)(x + \Delta x) + c] - F[(a + b)x + c]}{\Delta x} - \frac{F[a(x + \Delta x) + c] - F(ax + c)}{\Delta x}) \nonumber \\\\ &= \frac{1}{b}\\{(a + b)f[(a + b)x + c] + af(ax + c)\\} \nonumber \end{align}$$